Construire les médiatrices d'un triangle et tracer le cercle circonscrit au triangle

Dans un triangle, on peut tracer la médiatrice de chaque côté.

Quelle propriété possèdent les droites ainsi obtenues et qu'appelle-t-on cercle circonscrit au triangle ?

1. Les médiatrices d'un triangle

Définition : la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu de ce segment.

Propriété : la médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points situés à la même distance de A et de B (on dit équidistants de A et de B).

Cette propriété permet de justifier la construction, à la règle et au compas, de la médiatrice d'un segment [AB] présentée sur la figure 1.

L'expression médiatrices d'un triangle désigne les médiatrices des côtés du triangle. Un triangle a donc trois médiatrices.

2. Le cercle circonscrit à un triangle

2.1. Propriété

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est à la même distance des trois sommets du triangle et c'est le seul point ayant cette propriété.

Il est donc le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle.

Remarques :

ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle. On dit quelquefois : le triangle est inscrit dans le cercle ; le mot circonscrit vient du latin et signifie : « écrit autour » (de même, inscrit signifie : « écrit dans ») ;

en pratique, il suffit de construire deux médiatrices pour trouver le centre du cercle circonscrit.
2.2. Position du centre du cercle circonscrit

Dans la figure 2, le centre du cercle circonscrit se trouve à l'intérieur du triangle. En revanche, si on observe la figure 3, il est à l'extérieur du triangle.

Dans la figure 4, le centre du cercle circonscrit est le milieu du côté [BC]. On peut vérifier que le triangle est rectangle en A.

En résumé :

si le triangle a tous ses angles aigus, le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle ;

si le triangle a un angle droit, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse ;

si le triangle a un angle obtus, le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle.